☛ Autres exemples de calcul de nombre de combinaisons

Énoncé 1

Le tirage du Loto correspond à \(6\) tirages d'une boule sans remise parmi \(49\) boules numérotées de  \(1\) à \(49\) . Calculer les chances de gagner au Loto.

Solution

On peut assimiler ces tirages à un tirage simultané de \(6\) boules parmi \(49\) .
Le nombre de combinaisons possibles est donc de  \(\displaystyle \binom{49}{6} = \dfrac{49!}{6! \times 43!} = 13\,983\,816\) .
On a donc une chance sur près de \(14\) millions de gagner au Loto...

Énoncé 2

Une araignée se trouve, en \(\text A\) , sur une toile aux motifs carrés. Une mouche est immobilisée par la toile, au point \(\text M\) .

L'araignée souhaite attraper la mouche mais ne peut se déplacer que le long des filins de sa toile, vers la droite et vers le haut.
Combien de chemins différents peut prendre l'araignée pour atteindre la mouche ?

Solution

Le nombre total de cases à parcourir par l'araignée, pour atteindre la mouche, est de \(5\) cases horizontalement et de \(3\) cases verticalement.

Il s'agit donc de créer un chemin dans lequel on représente par \(\text D\) le déplacement d'une case vers la droite et par  \(\text H\) le déplacement d'une case vers le haut. Par exemple, un chemin possible est \(\text {DDHDDHHD}\) , représenté ci-dessous.

On doit dénombrer le nombre de chemins. On est donc amené à créer des « mots » de \(5 + 3 = 8\) lettres.
On se pose la question du nombre de manières de choisir les emplacements des  \(5\) lettres  \(\text D\) dans le « mot ». On peut choisir les \(5\) emplacements de \(\text D\) parmi les \(8\) positions possibles.

Or, \(\displaystyle \binom 85 = \dfrac{8!}{5!\times 3!}=\dfrac{8 \times 7\times 6}{3 \times 2 \times 1}=56\) . Il y a donc   \(56\) manières de choisir les emplacements de la lettre  \(\text D\) dans les « mots ».

La manière de choisir les emplacements de la lettre  \(\text D\) dans le « mot » va induire les emplacements de la lettre  \(\text H\) dans le « mot ».
Conclusion : il existe \(56\) chemins différents qui permettent à l'araignée d'atteindre la mouche.

Remarque

Par symétrie, il est équivalent de chercher à déterminer le nombre de manières de placer les  \(3\) lettres ​​ \(H\) parmi les \(8\) positions possibles :  \(\displaystyle \binom83 = \binom{8}{8-3} = \binom 85 = 56\) .